Matemática discreta Ejemplos

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

Paso 5

Simplifica $e^{- 1} (x - 1)$ .

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{e}$ y $x$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Paso 5.4

Combina $\frac{1}{e}$ y $- 1$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Paso 6

Resta $\frac{x}{e}$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

Paso 7

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Paso 8

Factoriza $x$ de $x - \frac{x}{e}$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $- \frac{x}{e}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ .

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Paso 9

Divide cada término en $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ por $1 - \frac{1}{e}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ por $1 - \frac{1}{e}$ .

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $1 - \frac{1}{e}$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Paso 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ por $\frac{e}{e}$ .

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Paso 9.3.2.2

Combinar.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

Paso 9.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Paso 9.3.4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 9.3.4.1

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 9.3.4.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e}$ al numerador.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Paso 9.3.4.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Paso 9.3.4.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Paso 9.3.4.2

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 9.3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e}$ al numerador.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

Paso 9.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e$ .

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

Paso 9.3.5.2

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

Paso 9.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $e$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

Paso 9.3.6.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

Paso 9.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- e$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

Paso 9.3.6.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (e)$ .

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

Paso 9.3.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

Paso 10

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ sea verdadera.

$No hay solución$